具吸收项的 Hamilton-Jacobi 抛物方程解的初始迹

在此我们研究方程 $$u_{t}-\Delta u+|\nabla u|^{q}=0$$ 在 $Q_{\Omega,T}=\Omega\times\left( 0,T\right) ,$ $T\leqq\infty,$ 其中 $q>0,$ 且 $\Omega=\mathbb{R}^{N},$ 或 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ 的光滑有界域且 $u=0$ 于 $\partial\Omega\times\left( 0,T\right)$ 上的非负解的初始迹问题。我们可以将 $t=0$ 处的迹定义为一个非负 Borel 测度 $(\mathcal{S} ,u_{0}),$ 其中 $S$ 是其为无穷大的闭集，而 $u_{0}$ 是 $\Omega\backslash\mathcal{S}$ 上的 Radon 测度。我们证明当 $q\leqq1$ 时该迹是一个 Radon 测度。对于 $q\in(1,(N+2)/(N+1)$ 和任意给定的 Borel 测度，我们在关于 $u_{0}$ 的条件下证明了最小解和最大解的存在性。当 $\mathcal{S}$ $=\overline{\omega}\cap\Omega$ 且 $\omega$ 是 $\Omega$ 的开子集时，若 $u_{0}\in L_{loc}^{1}(\Omega)$ 则存在性扩展至任意 $q\leqq2$，若 $u_{0}=0$ 则扩展至任意 $q>1$。特别地，存在一个具有迹 $(\mathbb{R}^{N+},0)$ 的自相似非径向解，对于固定的 $t$，其增长率在 $\left\vert x\right\vert \rightarrow\infty$ 时为 $\left\vert x\right\vert ^{q^{\prime}}$ 阶。此外，我们证明了在 $Q_{\mathbb{R}^{N},T}$ 中具有迹 $(\overline{\omega},0)$ 的解在 $t=0$ 附近可能在 $\omega$ 内呈现 $t^{-1/(q-1)}$ 阶的增长率，而在 $\partial \omega$ 上呈现 $t^{-(2-q)/(q-1)}$ 阶的增长率。