基于子采样 Haar 感知矩阵的相位恢复的信息论极限

我们研究了从 $m$ 个仅幅值测量 $y_i = |(\mathbf{A} \mathbf{x}_\star)_i|^2, \; i = 1,2 \dots , m$ 中恢复未知 $n$ 维复信号向量 $\mathbf{x}_\star$（单位范数）的信息论极限，其中 $\mathbf{A}$ 为感知矩阵。这被称为相位恢复（Phase Retrieval）问题，并对测量相位困难的实用成像系统建模。由于在若干应用中感知矩阵具有正交列，我们将感知矩阵建模为子采样 Haar 矩阵，由均匀随机 $m \times m$ 酉矩阵中选取 $n$ 列构成。我们在高维渐近 regime 下研究该问题，其中 $m,n \rightarrow \infty$，而 $m/n \rightarrow \delta$（$\delta$ 为固定数），并证明若 $m < (2-o_n(1))\cdot n$，则任何估计量渐近正交于真实信号向量 $\mathbf{x}_\star$。该下界是紧的，因为当 $m > (2+o_n(1)) \cdot n$ 时，先前工作已知存在与信号向量达到非平凡渐近相关的估计量。