基于两个范德蒙德矩阵乘积的信号恢复

在这项工作中，我们提出了压缩感知和相位恢复的一些新结果。对于压缩感知，研究表明，如果未知的 $n$ 维向量可以表示为 $s$ 个未知范德蒙德向量（傅里叶向量为其特例）的线性组合，且测量矩阵是一个范德蒙德矩阵，那么当 $n \geq 2s$ 时，使用 $2s$ 次测量和 $O(\mathrm{poly}(s))$ 的复杂度即可实现向量的精确恢复。基于这一结果，我们提出了一类新的测量矩阵，对于 $n \geq 2s$ 的情况，使用该类矩阵能够以少至 $2s$ 次测量和 $O(\mathrm{poly}(s))$ 复杂度的恢复算法来恢复 $s$-稀疏的 $n$ 维向量。在工作的第二部分，这些结果被扩展到具有挑战性的相位恢复问题。该方向上最重要的发现是，如果未知的 $n$ 维向量由 $s$ 个频率组成，且其中至少有一个是非谐波频率，当 $n \geq 4s - 1$ 且我们进行至少 $8s-3$ 次傅里叶测量时，值得注意的是，仅存在两个可能的向量产生观测到的测量值，并且它们很容易相互导出。这两个向量可以通过一个复杂度仅为 $O(\mathrm{poly}(s))$ 的算法找到。这一新结果的一个直接应用是构造一种测量矩阵，当 $n \geq 4s - 1$ 时，利用该矩阵可以从 $O(s)$ 次仅幅度测量和 $O(\mathrm{poly}(s))$ 的恢复复杂度中恢复几乎所有 $s$-稀疏的 $n$ 维信号（至多相差一个全局相位）。