弱恢复的基本极限及其在相位恢复中的应用

在相位恢复中，我们希望从 $n$ 个形如 $y_i = |\langle{\boldsymbol a}_i,{\boldsymbol x}\rangle|^2+w_i$ 的二次测量中恢复未知信号 $\boldsymbol x\in\mathbb C^d$，其中 $\boldsymbol a_i\in \mathbb C^d$ 是已知的传感向量，$w_i$ 是测量噪声。我们提出以下弱恢复问题：产生一个与信号 $\boldsymbol x$ 正相关的估计器 $\hat{\boldsymbol x}(\boldsymbol y)$ 所需的最少测量数 $n$ 是多少？我们考虑高斯向量 $\boldsymbol a_i$ 的情况。我们证明——在高维极限下——发生了敏锐的相变，并且我们在噪声趋于零的机制下定位了阈值。对于 $n\le d-o(d)$，没有任何估计器能做得显著优于随机并实现严格正的相关性。对于 $n\ge d+o(d)$，一个简单的谱估计器即可实现正相关性。令人惊讶的是，使用相同谱估计器的数值模拟表明，其在现实的传感矩阵下也展现出良好的性能。谱方法被用于在相位恢复中初始化非凸优化算法，我们的方法也能提升该设置下的性能。我们的不可能性结果基于经典信息论论证。该谱算法计算加权经验协方差矩阵的主特征向量。我们利用自由概率工具并推广了 Lu 和 Li 的近期结果，获得了该随机矩阵谱性质的精确刻画。上界和下界均可推广到相位恢复之外，适用于根据广义线性模型产生的测量 $y_i$。作为我们分析的副产品，我们将所提谱方法的阈值与消息传递算法的阈值进行了比较。