信息因果性、Szemerédi-Trotter 定理与 CHSH 的代数变体

在这项工作中，我们考虑以下双 prover 单轮博弈族。在 CHSH$_q$ 博弈中，两方被均匀随机地给予 $x,y \in \mathbb{F}_q$，且必须在互不通信的情况下各自产生输出 $a,b \in \mathbb{F}_q$。玩家的目标是最大化其输出满足 $a+b=xy$ (在 $\mathbb{F}_q$ 中) 的概率。该博弈由 Buhrman 和 Massar (PRA 2005) 引入，作为著名的 CHSH 博弈的大字母表推广——CHSH 博弈是量子信息理论中研究最深入的双 prover 博弈之一，并在量子密码学和量子复杂性领域有着广泛的应用。本文的主要贡献是首次给出了 CHSH$_q$ 纠缠值和经典值的渐近界与显式界，并揭示了 CHSH$_q$ 与几何关联理论之间令人惊讶的联系。在得出这些结果的过程中，我们还解决了 Pawlowski 和 Winter 关于成对独立信息因果性的问题，该问题本身很有趣，并且作为应用，为我们关于 CHSH$_q$ 纠缠值的上界提供了一个简短的证明。