具有有界且常返和的 $\mathbb{Z}^2$ 随机环境上的无穷路径

本文考虑格点 $\mathbb{Z}^2$ 上如下类型的随机结构。对每条边 $e$ 赋予一个随机变量 $X_e$，以及一个随机符号 $Y_e \in \{-1,+1\}$。对于 $\mathbb{Z}^2$ 上从原点出发的无穷自避路径，考虑沿该路径的偏和序列。其计算方式为：对路径所跨越的边 $e$ 的 $X_e$ 求和，符号取决于跨越方向。若边被向右或向上跨越，符号由 $Y_e$ 给出，否则由 $-Y_e$ 给出。我们假定 $X_e$ 序列为独立同分布（i.i.d.），抽取自任意公共分布，且符号序列 $Y_e$ 独立，其独立分量抽取自允许在水平边与垂直边之间改变的分布。首先我们证明，以正概率存在一条从原点出发的无穷自避路径，其偏和有界。此外，偏和过程要么回到零，要么至少无穷频繁地回到零的任意邻域。考虑到如下事实，这些结果有些出人意料：在相当温和的条件下，以概率 $1$ 存在两个站点，使得连接它们的所有路径的偏和绝对值都超过任意预设常数。