二阶 mock theta 函数 $\mathcal{B}(q)$ 的无限族同余式

McIntosh 引入的二阶 mock theta 函数 $\mathcal{B}(q)$ 的算术性质已被广泛研究。例如，对所有 $n\ge0$，Kaur 和 Rana 建立了同余式 $b(12n+10)\equiv 0\pmod{36}$，$b(18n+16)\equiv 0\pmod{72}$；Chen 和 Mao 证明了对所有 $n\ge0$，$b(4n+1)\equiv 0\pmod{2}$，$b(4n+2)\equiv 0\pmod{4}$；而 Mao 还证明了对所有 $n\ge0$，$b(6n+2)\equiv 0\pmod{4}$，$b(6n+4)\equiv 0\pmod{9}$。本文我们找到了函数 $\mathcal{B}(q)$ 模 $2, 4, 8, 36, 54, 72$ 的新同余式及无限族同余式。例如，设 $p\ge5$ 为素数，若 $\left(\frac{-3}{p}\right)_L=-1$，则对所有 $n,k\ge0$ 且 $p\nmid n$，有 $b\left(3p^{2k+1}n+\frac{p^{2k+2}-1}{2}\right)\equiv 0\pmod{2}$。设 $p\ge5$ 为素数且 $1\le\ell\le p-1$ 满足 $\left(\frac{12\ell+9}{p}\right)_L=-1$，则对所有 $n,k\ge0$，有 $b\left(6p^{2k+3}n+\frac{3p^{2k+2}(4\ell+3)-1}{2}\right)\equiv 0\pmod{36}$。我们的技术涉及初等 $q$-级数与 Maple。