整数与整点格中的无穷共极小对

给定群 $G$ 的两个非空子集 $A, B$，若 $A \cdot B = G$，且对任意 $\emptyset \neq A' \subsetneq A$ 有 $A' \cdot B \subsetneq G$、对任意 $\emptyset \neq B' \subsetneq B$ 有 $A\cdot B' \subsetneq G$，则称它们构成一个共极小对。本文中，我们给出了关于整数与整点格中若干共极小对的新结果。我们证明对任意 $d\geq 1$，群 $\mathbb{Z}^{2d}$ 容许无穷多个自同构，使得对每一个这样的自同构 $\sigma$，存在 $\mathbb{Z}^{2d}$ 的子集 $A$，满足 $A$ 与 $\sigma(A)$ 构成共极小对。整数中两个子集 $A$ 与 $B$（$A\neq B$）均为无穷基数的共极小对的存在性与构造此前未知。我们证明了此类对的存在性，并显式构造了满足若干代数性质的这些对。