Landau-Lifshitz-Gilbert 方程与调和映射热流方程的 inf-sup 稳定有限元方法

本文提出并分析了用于调和映射热流方程与 Landau--Lifshitz--Gilbert 方程的有限元方法，时间变量保持连续。我们的出发点是对这两个问题给出统一的鞍点格式，以便在节点处施加单位球约束，因为满足处处单位球约束的多项式函数仅为常数。我们证明了拉格朗日乘子适当的 inf-sup 条件，从而得出统一格式的良好适定性。给出了所提方法的先验能量估计。当时间积分与鞍点有限元逼近结合时，需要一些额外的阐述，以确保依赖于模型的 director 或磁化向量的先验能量估计以及拉格朗日乘子的 inf-sup 条件。这是因为在执行时间积分时，节点处的单位长度一般不被满足。我们将采用线性欧拉时间步进法与非线性 Crank--Nicolson 方法。后者通过前者作为非线性求解器来求解。