点集的诱导拉姆齐型结果与二元谓词

设 $k$ 和 $p$ 为正整数，且 $Q$ 为平面上处于一般位置的有限点集。我们称 $Q$ 是 $(k,p)$-Ramsey 的，如果存在有限点集 $P$，使得对于 $\binom{P}{p}$ 的每种 $k$-染色 $c$，都存在 $P$ 的子集 $Q'$，满足 $Q'$ 与 $Q$ 具有相同的序型且 $\binom{Q'}{p}$ 在 $c$ 中是单色的。Nešetřil 和 Valtr 证明了对于每个 $k \in \mathbb{N}$，所有点集都是 $(k,1)$-Ramsey 的。他们还证明了对于每个 $k \ge 2$ 和 $p \ge 2$，存在不是 $(k,p)$-Ramsey 的点集。作为我们的主要结果，我们引入了一类新的 $(k,2)$-Ramsey 点集，推广了 Nešetřil 和 Valtr 的结果。随后我们利用这一新结果证明：对于每个 $k$，存在一个点集 $P$，使得任何将 $P$ 中不同点的有序对映射到大小为 $k$ 的集合的函数 $\Gamma$ 都无法满足如下“局部一致性”性质：若 $\Gamma$ 在 $P$ 的两个有序三点组上取到相同的值，则这些三点组具有相同的定向。直观上，这意味着不可能存在这样一个局部定义且能确定三点组定向的函数。