S^1-半自由商空间上诱导的 Dirac-Schrödinger 算子
微分几何
2018-02-13 v2
摘要
John Lott 对一个具有半自由 S^1-作用的紧致可定向 (4k+1) 维流形的轨道空间计算了一个整数值符号差，它是该空间的一个同伦不变量，但他并未构造出一个以该符号差为指标的 Dirac 型算子。在本论文中，我们在该轨道空间（一个具有一个正维数奇异层的 Thom-Mather 分层空间）上构造了这样的算子，并证明它本质上是唯一的，且其指标与 Lott 的符号差一致，至少当该分层空间满足所谓的 Witt 条件时如此。我们称此算子为诱导 Dirac-Schrödinger 算子。构造的策略是将一个适当的 S^1-不变一阶横椭圆算子“下推”到商空间。Witt 条件是一个拓扑条件，在此情形下依赖于不动点集的余维数，它具有多种解析推论。特别地，当不满足该条件时，商空间上的 Hodge-de Rham 算子未必本质上是自伴的，因此需要选择边界条件。鉴于 Lott 的符号差在独立于 Witt 条件时也是良定义的，这种选择自由并不自然。本论文构造的 Dirac-Schrödinger 算子通过一个零阶项与 Hodge-de Rham 算子相异，该零阶项保证其本质上是自伴的。此外，该零阶项与手性对合反交换，使得整个算子可分解，从而即使 Witt 条件不满足时也能计算其指标。
引用
@article{arxiv.1711.04196,
title = {Induced Dirac-Schr\"odinger operators on $S^1$-semi-free quotients},
author = {Juan Camilo Orduz},
journal= {arXiv preprint arXiv:1711.04196},
year = {2018}
}
备注
PhD Thesis at Humboldt Universit\"at zu Berlin under the supervision of Prof. Dr. Jochen Br\"uning