寻找隐藏曲线

自 2007 年以来, 人们注意到在识别解析或代数曲线后, 可以解决某些计数问题。该曲线是解决问题的关键。在这些演示文稿中, 介绍了几个此类例子。其中一个是详细阐述计数简单 Hurwitz 数的过程, 说明问题是如何通过发现该关键曲线来解决的。该曲线的公式使我们能够将 Hurwitz 数的生成函数表示为多项式。这种意想不到的数学性质作为副产品, 产生了 Witten-Kontsevich 定理和 Faber-Pandharipande 的 $\lambda_g$-定理的简洁而直接的证明。还介绍了一个与 Catalan 数相关的计数问题, 该问题在分析上更为简单。计数的渐近行为这一次导致了光滑曲线调模空间的欧几里得特征。我们随后讨论了另一种计数问题, 即 Ap\'ery 数列。对于这一案例, 识别隐藏曲线的工作仍在进行中。这些曲线也称为谱曲线, 通过求解常微分方程来发现。与生成曲线相关联的计数问题可以用该谱曲线来编码。解释了从 $(g,n)=(0,1)$-案例到任意 $(g,n)$ 的过程是对谱曲线进行量子化。就线性齐次系数的微分方程而言, 这种量子化视角在几何环境下讨论, 具体涉及 Higgs 包、opers 和 Gaiotto 的共形极限构造。在此语境下, however, 没有背后的计数问题。