在 SDP 松弛中，不精确的求解器做了鲁棒优化

我们解释了在双精度浮点 SDP 求解器上求解多项式优化的 SDP 松弛时，已经观察到的某些（由数值不精确导致的）错误结果。事实证明，这种行为可以用一个相对简单的范式来充分解释和论证。在这种情况下，SDP 求解器（而非用户）执行了某种“鲁棒优化”，而并未被指示这样做。它不使用带有名义准则 $f$ 的原始优化问题，而是使用一个新的准则 $\tilde{f}$，该准则属于以参数空间中名义准则 $f$ 为中心、半径为小量 $\varepsilon>0$ 的球 $\mathbf{B}_\infty(f,\varepsilon)$。换言之，所得过程可视为一个具有两个参与者的“极大-极小”鲁棒优化问题（求解器在 $\mathbf{B}_\infty(f,\varepsilon)$ 上极大化，而用户在原始决策变量上极小化）。我们描述了这种“自主”行为背后的数学原理。