仿射线改进提取器

设 $F$ 为具有 $q$ 个元素的域。我们研究向量空间的如下 Ramsey 染色问题：给定向量空间 $F^n$，用两种颜色对 $F^n$ 的点进行染色，使得没有仿射线（即 $1$ 维仿射子空间）是单色的。我们的主要结果如下：对于任意 $q\geq 25\cdot n$ 且 $n>4$，我们给出一个显式染色 $D:F^n\ar \set{0,1}$，使得对于每条仿射线 $l\subseteq F^n$，$D(l)=\set{0,1}$。此前这仅在 $q\geq c\cdot n^2$（对某个常数 $c$）时已知 \cite{GR05}。我们指出，这胜过随机染色，因为对于随机染色，仅当 $q\geq c\cdot n\log n$（对某个常数 $c$）时单色线的期望数量才为 0。此外，我们的染色在每条仿射线上将是“几乎平衡”的。让我们用提取器的语言正式陈述这一点。我们称函数 $D:F^n\mapsto \set{0,1}$ 为一个 \afsext{1}{\eps}，如果对于每条仿射线 $l\subseteq \F^n$，当 $X$ 在 $l$ 上均匀分布时，$D(X)$ 与均匀分布的差距为 $\eps$。我们构造了一个 \afsext{1}{\eps}，其中 $\eps = \Omega(\sqrt{n/q})$，只要 $q\geq c\cdot n$（对某个常数 $c$）。\cite{GR05} 的先前结果仅在 $q=\Omega(n^2)$ 时给出了 \afsext{1}{\eps}。