防陷码的改进构造

防陷码用于在对数字数据进行指纹识别时保持合谋情境下的安全性。设 $M_{c,l}(q)$ 为长度为 $l$ 的 $q$ 元 $c$-防陷码的最大基数，$R_{c,l}=\lim_{q\rightarrow \infty}M_{c,l}(q)/q^{\lceil l/c\rceil}$。Blackburn 已确定当 $l\equiv 1\ (\bmod\ c)$ 时 $R_{c,l}=1$，当 $c=2$ 且 $l$ 为偶数时 $R_{c,l}=2$，以及 $R_{3,5}=5/3$。在本文中，我们给出了关于字母表大小 $q$ 的长度为 $l$ 的 $c$-防陷码的递归构造。作为该构造的应用，我们确立了当 $c=2$ 且对所有奇数 $q$，以及当 $c=3$ 且对所有 $q\equiv 4\pmod{6}$ 时，长度为 $c+2$、大小为 $\frac{c+2}{c}(q-1)^2+1$ 的 $q$ 元 $c$-防陷码的存在性结果。此外，我们证明了对所有使得 $c+1$ 为素数幂的整数 $c$，$R_{c,c+2}=(c+2)/c$ 达到了 Blackburn 给出的上界。