可分码的概率存在性结果

可分码由Cheng和Miao于2011年定义，受多媒体环境中识别盗版者应用的启发。从组合学角度看，$\overline{t}$-可分码位于$t$-防合谋码和$(t-1)$-防合谋码之间：所有$t$-防合谋码都是$\overline{t}$-可分码，所有$\overline{t}$-可分码都是$(t-1)$-防合谋码。关于防合谋码的结果表明(当$q$较大时)，存在长度为$n$、具有约$q^{\lceil n/t\rceil}$个码字的$q$元$\overline{t}$-可分码，且长度为$n$的$q$元$\overline{t}$-可分码的码字数不超过约$q^{\lceil n/(t-1)\rceil}$。本文为$t\geq 3$时的$\overline{t}$-可分码提供了改进的概率存在性结果。更精确地说，对于所有$t\geq 3$和所有$n\geq 3$，存在一个仅依赖于$t$和$n$的常数$\kappa$，使得对所有充分大的整数$q$，存在长度为$n$且至少具有$\kappa q^{n/(t-1)}$个码字的$q$元$\overline{t}$-可分码。这特别表明，从$(t-1)$-防合谋码的界导出的可分码码字数上界是可达的。当$t=2$时，上述结果更为令人惊讶。Gao和Ge的结果表明，长度为$n$的$q$元$\overline{2}$-可分码最多可包含$\frac{3}{2}q^{2\lceil n/3\rceil}-\frac{1}{2}q^{\lceil n/3\rceil}$个码字，且至少具有$\kappa q^{2n/3}$个码字的码存在。因此最优$\overline{2}$-可分码的行为既不像2-防合谋码也不像1-防合谋码。此外，Gao-Ge界被加强，表明长度为$n$的$q$元$\overline{2}$-可分码最多可包含$q^{\lceil 2n/3\rceil}+\tfrac{1}{2}q^{\lfloor n/3\rfloor}(q^{\lfloor n/3\rfloor}-1)$个码字。