抗帧码及相关组合结构的界与算法

本文研究由 Boneh 与 Shaw 为保护版权材料而引入的抗帧码最小长度的紧上界。长度为 $t$ 的 $q$ 元 $(k,n)$-抗帧码是一个 $t \times n$ 矩阵，其元素取自 $\{0,1,\ldots, q-1\}$，且性质为：对任意列 $\mathbf{c}$ 及任意其他 $k$ 列，存在一行使得这 $k$ 列的符号均不同于列 $\mathbf{c}$ 的相应符号（同行）。本文中，我们利用 Lov\'asz 局部引理证明了对于 $q \leq k$ 存在长度为 $t = O(\frac{k^2}{q} \log n)$ 的 $q$ 元 $(k,n)$-抗帧码，并利用删截法证明了对于 $q > k$ 存在长度为 $t = O(\frac{k}{\log(q/k)}\log(n/k))$ 的码。值得注意的是，对于 $q \leq k$ 这一实际情形，我们的发现给出的码长几乎匹配任意 $q$ 元 $(k,n)$-抗帧码长度的下界 $\Omega(\frac{k^2}{q\log k} \log n)$，且更重要的是，使我们能推导出一种复杂度为 $O(t n^2)$ 的算法用于构造此类码。