有界域中依赖关系的复杂性、Armstrong 码及其推广

Armstrong 码的研究动机源于理解关系数据库系统中属性具有有界域的依赖关系复杂性问题。一个 $(q,k,n)$-Armstrong 码是长度为 $n$、最小汉明距离为 $n-k+1$ 的 $q$ 元码，且对任意 $k-1$ 个坐标的集合，存在两个仅在这些坐标上一致的码字。令 $f(q,k)$ 为这种码存在时的最大 $n$。本文确定了对于所有 $q\geq 5$（除三个可能的例外）$f(q,3)=3q-1$，这反驳了 Sali 的一个猜想。此外，我们引入了针对分支或 $(s,t)$-依赖关系的广义 Armstrong 码，构造了若干类最优 Armstrong 码，并在这一更一般的情形下建立了最大长度 $n$ 的下界。