基于二分Kikuchi图的奇次查询局部可解码码的$k^{\frac{q}{q-2}}$下界

一个码$C \colon \{0,1\}^k \to \{0,1\}^n$是$q$次查询局部可解码码（$q$-LDC），如果可以通过查询码字$x = C(b)$的至多$q$个坐标（可能已损坏为$\tilde{x}$），以较高置信度恢复消息$b \in \{0,1\}^k$的任意选定比特$b_i$。对于2次查询，Hadamard码是长度为$n = 2^k$的2-LDC，且该码实际上是最优的。对于$q \geq 3$，存在较大差距：最佳构造达到$n = \exp(k^{o(1)})$，而在[AGKM23]的近期工作之前，最佳下界为：$q$为偶数时$n \geq \tilde{\Omega}(k^{\frac{q}{q-2}})$，$q$为奇数时$n \geq \tilde{\Omega}(k^{\frac{q+1}{q-1}})$。[AGKM23]的近期工作利用半随机XOR反驳技术证明了$q = 3$时$n \geq \tilde{\Omega}(k^3)$的下界，从而在奇数$q$上实现了“$k^{\frac{q}{q-2}}$界”。然而，他们的证明无法推广到任何奇数$q \geq 5$。在本文中，我们证明了对于任何奇数$q$，$q$-LDC的下界为$n \geq \tilde{\Omega}(k^{\frac{q}{q-2}})$。我们的关键思想是使用非平衡二分Kikuchi图，它提供了一种更简单的方法来分析奇数XOR的谱拒绝，而无需使用“Cauchy-Schwarz技巧”——该技巧通常会产生具有非平凡相关项的随机矩阵，使得奇数XOR的分析比偶数XOR复杂得多。