基于 $q$ 元函数的完全互补码进一步研究

本研究致力于构造具有灵活参数的完全互补码（CCCs）的 $q$ 元函数。现有工作大多仅识别出与 $q$ 元 CCCs 相关的 $q$ 元函数的充分条件。据作者所知，本研究首次确立了 $q$ 元函数的充要条件，涵盖了大多数现有的 CCCs 构造作为特例。对于长度为 $q^m$ 且集合大小为 $q^{n+1}$ 的 $q$ 元 CCCs，我们首先分析了定义在域 $\mathbb{Z}_q^m$ 上的 $q$ 元函数的充要条件。此外，我们构造了长度为 $L = \prod_{i=1}^k p_i^{m_i}$、集合大小为 $K = \prod_{i=1}^k p_i^{n_i+1}$、字母表大小为 $\nu = \prod_{i=1}^k p_i$ 的 CCCs，其中 $p_1 < p_2 < \cdots < p_k$。为实现这些特定参数，我们考察了定义在域 $\mathbf{Z}_{p_1}^{m_1} \times \cdots \times \mathbf{Z}_{p_k}^{m_k}$ 上的 $\nu$ 元函数的充要条件，该域是 $\mathbb{Z}_{\nu}^m$ 的子集且包含 $\prod_{i=1}^k p_i^{m_i}$ 个向量。在此语境下，$\mathbf{Z}_{p_i}^{m_i} = \{0, 1, \ldots, p_i - 1\}^{m_i}$，且 $m$ 为 $m_1, m_2, \ldots, m_k$ 之和。$q$ 元与 $\nu$ 元函数使我们能够覆盖所有可能的长度序列。然而，我们发现所提出的 $\nu$ 元函数更适合生成长度为 $L = \prod_{i=1}^k p_i^{m_i}$ 的 CCCs，特别是当对于某些 $1 \leq i \neq j \leq k$，$m_i$ 与 $m_j$ 互质时。虽然所提出的 $q$ 元函数也能生成长度为 $L$ 的 CCCs，但其集合大小和字母表大小会变得与 $L$ 一样大，因为在此情形下 $q$ 的唯一选择是 $L$。相比之下，所提出的 $\nu$ 元函数生成的 CCCs 具有更灵活的集合大小 $K\leq L$ 和字母表大小 $\nu<L$。