$q$ 进制图像的自正交性及量子码构造

可以将GF$(q^m)$上的码通过扩展域的基进行成像或扩张到GF$(q)$上的码。图像的性质取决于原始码及用于成像的基的选择。关于代码及其相对于基的图像性质之间的关系的问题在编码理论领域引发了广泛关注。在本文中，考虑了$q$进制图像$q^m$进制码自正交性问题的推广版本。给定一个内积（更一般地，双可加形式），推导了关于字段扩展上的码及其扩张基，使得该码的图像自正交的必要充分条件。这些条件要求在某些双正交基元素幂和不为零时，原始码需针对多个相关双可加形式自身正交。通过对一般条件进行特化，推导出诸多有趣的推论。在特征为二的域中针对规范或正规内积的一个有趣结果是，只有自正交码才会导致自正交图像。另一个结果是，若某码的所有基的图像均为自正交，则该码的迹（trace）必为自正交，除非是4进制码的二进制图像。该条件在循环码上表述和应用尤为简洁。为说明其可能的应用，本文构建了新的量子纠错码，其最小距离优于先前已知的结果。