线束的改进上界

我们考虑Rudnev提出的一个问题：给定$\mathbb R^2$中四束各含$n$条共点直线，且四束的中心不共线，四条直线相交的点的集合的最大可能大小是多少？我们的主要结果表明，这样的点的数量为$O(n^{11/6})$，改进了Chang和Solymosi的结果。我们也考虑该问题的构造。Alon、Ruzsa和Solymosi构造了一种四束非共线$n$线束的排列，确定了$\Omega(n^{3/2})$个四富点。我们给出一个构造表明这并非紧的，将下界通过对数因子改进。我们也给出一个$m$束$n$线束的构造，其中心处于一般位置，确定了$\Omega_m(n^{3/2})$个$m$富点。