具有解析核的图像处理变分模型

设 $f\in L^1(\R^d)$ 为实值。Rudin-Osher-Fatemi 模型旨在最小化 $\|u\|_{\dot{BV}}+\lambda\|f-u\|_{L^2}^2$，其中将 $f$ 视为给定图像，$\lambda > 0$ 视为“调节参数”，$u$ 视为对 $f$ 的最优“卡通”逼近，而 $f-u$ 视为“噪声”或“纹理”。在此我们研究形如 $\inf_u\{\|u\|_{\dot{BV}}+\lambda \|K*(f-u)\|_{L^p}^q\}$ 的 R-O-F 模型的变体，其中 $K$ 是如实解析核（如高斯核）。对于这些泛函，我们刻画了极小元 $u$ 并确立了其若干性质，特别是其光滑性质。特别地，我们证明在满足 $u \in W^{1,1}$ 且 $\nabla u \neq 0$ 的任意开集上，几乎每一个水平集 $\{u =c\}$ 都是实解析曲面。我们还证明，如果 $f$ 和 $K$ 是径向函数，则每一个极小元 $u$ 都是径向阶跃函数。