B-拟对称函数的理想与商

Baumann 和 Hohlweg 最近研究了 2 组 $n$ 个变量中的 $B$-拟对称多项式空间 $QSym_n(B)$。本文旨在研究由不含常数项的 $B$-拟对称多项式生成的理想 $<QSym_n(B)^+>$。在 1 组 $n$ 个变量的拟对称多项式空间 $QSym_n$ 的情形下，Aval、Bergeron 和 Bergeron 证明了多项式空间除以理想 $<QSym_n^+>$ 的商的维数由 Catalan 数 $C_n=\frac 1 {n+1} {2n \choose n}$ 给出。在 $B$-拟对称多项式的情形下，我们的主要结果是：类似商的维数等于 $\frac{1}{2n+1}{3n\choose n}$，即具有 $n$ 个节点的三元树的数量。该理想的 Gröbner 基以及该商的线性基的构造被解释为与格路的双射。这些结果最终被推广到 $p$ 组变量的情形，此时维数为 $\frac{1}{pn+1}{(p+1)n\choose n}$，即具有 $n$ 个节点的 $p$ 元树的数量。