理想类与 Cappell-Shaneson 同伦 4-球

Gompf 提出了一个关于 Cappell-Shaneson 矩阵的猜想，其肯定回答意味着所有 Cappell-Shaneson 同伦 4-球都与标准 4-球微分同胚。我们利用各种代数数论技术研究 Cappell-Shaneson 矩阵上的 Gompf 猜想。我们发现了迹为 $n$ 的 Cappell-Shaneson 矩阵与迹为 $5-n$ 的 Cappell-Shaneson 矩阵之间隐藏的对称性，这一对称性由 Gompf 通过实验提出。利用此对称性，我们证明了迹 $n$ 情形的 Gompf 猜想等价于迹 $5-n$ 情形。我们确认了 $-64\leq \textrm{trace}\leq 69$ 特殊情形下的 Gompf 猜想，并且相应的 Cappell-Shaneson 同伦 4-球与标准 4-球微分同胚。我们还给出了一族新的与标准 4-球微分同胚的 Cappell-Shaneson 球。