I. Schur 第二不可约性定理的一个推广

设 $n \neq 8$ 为正整数，且对任意整数 $u\geq 2$ 有 $n+1 \neq 2^u$。设 $\phi(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 为在小于等于 $n+1$ 的所有素数模下不可约的首一多项式。设 $a_j(x)$（$0\leq j\leq n-1$）属于 $\mathbb{Z}[x]$ 且次数小于 $\deg\phi(x)$ 的多项式。假设 $(a_na_0(x))$ 的内容不被任何小于等于 $n+1$ 的素数整除。本文证明多项式 $f(x) = a_n\frac{\phi(x)^n}{(n+1)!}+ \sum\limits_{j=0}^{n-1}a_j(x)\frac{\phi(x)^{j}}{(j+1)!}$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上不可约。这推广了 Schur 的著名结果：当 $a_j \in \mathbb{Z}$ 且 $|a_0| = |a_n| = 1$ 时，多项式 $\sum\limits_{j=0}^{n}a_j\frac{x^{j}}{(j+1)!}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。我们通过例子说明我们的结果。