估计二维窄俘获问题首达时间密度的混合渐近-数值方法

本文提出了一种混合渐近-数值方法，用于获取随机游走者被位于具有反射边界的二维有界区域内的多个小陷阱所俘获的俘获时间的完整概率分布。作为本研究的动机，我们计算了单个内部陷阱俘获随机游走者的俘获时间方差，并确定该量在量级上与均值相当。这意味着均值不一定能反映典型的俘获时间，因此必须确定完整的密度。为了求解底层的扩散方程，使用拉普拉斯变换方法得到了修正 Helmholtz 型的椭圆问题。在陷阱尺寸趋于零的极限下，每个陷阱被表示为狄拉克点源，这使得变换方程的解可以表示为 Helmholtz 格林函数的叠加。利用该解，我们构造了首达时间密度的短时渐近解，该解捕获了与吸收陷阱快速俘获相关的峰值。当采用数值方法计算 Helmholtz 格林函数并随后进行拉普拉斯变换的数值反演时，该方法能够重现较大时间下的密度。通过与扩散方程的时间依赖解和离散粒子模拟获得的统计数据进行比较，我们验证了该求解技术的准确性。特别地，我们证明了该方法能够捕获当陷阱被策略性排列时在俘获时间密度中出现的多模态行为。本文提出的混合方法可应用于涉及任意区域和陷阱形状的场景。