具有部分吸收靶标与随机重置的窄捕获问题

我们考虑在 $d=2,3$ 时有界域 $\calU\subset \R^d$ 中粒子进行带随机重置的扩散。该域被一组部分吸收靶标穿孔，粒子在其中可以速率 $\kappa$ 被吸收。每个靶标假定远小于 $|\calU|$，这使我们能用渐近与格林函数方法在拉普拉斯空间中求解扩散方程。特别地，我们构造每个靶标内部及局部外部的内解，并将其与 $\calU$ 主体中的外解匹配。这给出了流入每个靶标的拉普拉斯变换通量分别关于 $\nu=-1/\ln \epsilon$（$d=2$）与 $\epsilon$（$d=3$）的渐近展开，其中 $\epsilon$ 为无量纲靶标尺寸。这些通量决定了吸收的平均首达时间如何依赖于反应速率 $\kappa$ 与重置率 $r$。在一段参数范围内，MFPT 是 $r$ 的单峰函数，在最优重置率 $r_{\rm opt}$ 处取最小值，而 $r_{\rm opt}$ 依赖于 $\kappa$ 与靶标构型。