受半透界面屏蔽的带随机重置扩散过程

在本文中，我们考虑扩散搜索一个有界目标 $\Omega \in \R^d$，其边界 $\partial \Omega$ 为全吸收。我们假设目标被一个由闭曲面 $\partial \calM$ 给出的半透界面所包围，其中 $\Omega \subset \calM\subset \R^d$。即该界面完全包围目标，从而部分屏蔽了扩散搜索过程。我们还假设扩散粒子（搜索者）的位置根据速率为 $r$ 的泊松过程随机重置到其初始位置 $\x_0$。位置 $\x_0$ 取在界面之外，$\x_0\in \calM^c$，这意味着当粒子在 $\partial \calM$ 内部时不会发生重置。因此，半透界面也屏蔽了重置的效应。我们首先求解半直线 $x\in [0,\infty)$ 上扩散的边值问题（BVP），其在 $x=0$ 处为吸收边界，在 $x=L$ 处为半透屏障，且对所有 $x>L$ 随机重置到 $x_0>L$。我们计算了被目标吸收的平均首次通过时间（MFPT），并探讨了其作为界面渗透率 $\kappa_0$ 及其空间位置 $L$ 的函数行为。随后我们对三维（3D）球对称界面和目标进行了类似的计算，并表明 MFPT 表现出与一维情形相同的定性行为。最后，我们基于所谓跳出布朗运动（snapping out BM）的推广引入了该搜索过程的随机单粒子实现。后者将界面两侧连续的反射布朗运动片段缝合在一起。主要挑战在于确立跳出 BM 生成的概率密度满足界面处的可透边界条件。我们展示了如何利用更新理论实现这一点。