三维窄捕获问题中目标通量的渐近分析

我们对三维（3D）窄捕获问题中的目标通量开展了渐近分析。后者关注一种扩散搜索过程，其中目标远小于搜索域的尺寸。目标的微小性假设使我们能够使用匹配渐近展开与格林函数来求解拉普拉斯空间中的扩散方程。特别地，我们推导了每个目标上拉普拉斯变换通量按无量纲目标尺寸 $\epsilon$ 的幂次展开的渐近展开式。直接处理通量的一个主要优势在于，无需针对每种情形分别求解边值问题，即可生成如分裂概率与条件首达时间矩等统计量。然而，为推导这些量的渐近展开，必须消除在 $s\rightarrow 0$ 极限下出现的格林函数奇异性，其中 $s$ 为拉普拉斯变量。我们通过考虑关于 $\epsilon$、$s$ 与 $\Lambda\sim \epsilon /s$ 的三重展开来实现这一点。这使我们能够对 $\Lambda$ 的无穷幂级数进行部分和，从而得到形如 $\Lambda^n/(1+\Lambda)^n$ 的乘性因子。由于当 $s\rightarrow 0$ 时 $\Lambda^n/(1+\Lambda)^n \rightarrow 1$，关于 $s$ 的奇异性被消除。接着我们展示了如何在小-$s$ 极限下推导分裂概率与条件 MFPT 的相应渐近展开。最后，我们考虑球型搜索域中一对目标的例子来阐明该理论，其格林函数可被显式计算。