猎人、柯西兔与最优 Kakeya 集

在每个方向上都包含单位线段的平面集称为 Kakeya 集。我们将这些集与循环图 $\Z_n$ 上的追捕游戏联系起来。猎人和兔子在 $\Z_n$ 的节点上移动且彼此不可见。每一步中，猎人移动到相邻顶点或原地不动，而兔子可以自由跳跃到任何节点。Adler 等人 (2003) 提供了猎人和兔子的策略，这些策略在常数因子内是最优的，并在前 $n$ 步内实现了量级为 $1/\log n$ 的捕获概率。我们证明这些策略产生了一个由 $4n$ 个三角形组成的 Kakeya 集，其面积最小（直至常数因子），即 $\Theta(1/\log n)$。据我们所知，这是首个非迭代构造的边界最优 Kakeya 集。考虑该游戏的连续类比，可以从两个独立的标准布朗运动 $\{B(s): s \ge 0\}$ 和 $\{W(s): s \ge 0\}$ 构造一个随机 Kakeya 集。令 $\tau_t:=\min\{s \ge 0: B(s)=t\}$。则 $X_t=W(\tau_t)$ 是一个柯西过程，且 $K:=\{(a,X_t+at) : a,t \in [0,1]\}$ 是一个面积为零的 Kakeya 集。$K$ 的 $\epsilon$-邻域的面积尽可能小，即以概率 1 量级为 $\Theta(1/|\log \epsilon|)$。