准正则序列与安全博弈的最优调度

我们研究一类安全博弈，其中防御者承诺采用混合策略来保护一组具有不同价值的有限目标。攻击者知晓防御者的策略，选择攻击哪个目标以及攻击多长时间。如果攻击者在目标$i$（价值为$\alpha_i$）处花费时间$t$，并在防御者访问该目标之前离开，则其效用为$t \cdot \alpha_i$；如果防御者在他离开之前访问，则其效用为0。防御者的目标是最小化攻击者的效用。防御者的策略由访问目标的调度表组成；她在目标之间切换需要单位时间。此类博弈是许多现实场景的简化模型，例如保护计算机网络免受入侵者攻击、保护农作物免遭窃贼偷盗等。我们证明，这种连续时间安全博弈的最优防御者策略可归结为一个组合问题的解，该问题涉及有限字母表上无限序列的存在性，且对每个符号$i$具有以下性质：（1）$i$在序列中构成规定的比例$p_i$。（2）$i$的出现近乎均匀地散布，即连续出现之间的最长间隔与最短间隔之比由一个参数$K$界定。我们称此类序列为$K$-准正则序列。我们证明，令人惊讶的是，$2$-准正则序列足以实现最优防御者策略。更有甚者，即使是随机化的$2$-准正则序列也足以达到最优。我们证明此类序列总是存在，并且可以高效计算。关于确定性$K$-准正则序列存在的最小$K$值问题十分引人入胜。利用遍历理论方法，我们证明确定性$3$-准正则序列总是存在。对于$2 \leq K < 3$，我们尚不清楚确定性$K$-准正则序列是否总是存在。