如何揭示矩阵的秩？
数值分析
2024-06-04 v2 数值分析
摘要
我们研究称为秩揭示器的算法，用于揭示矩阵的秩结构。此类算法是矩阵压缩、奇异值估计和列子集选择问题中的基本组件。虽然列主序 QR 因其实用性而被广泛采用，但并非总是秩揭示器。相反，已知具有保证性地估计矩阵奇异值的高斯消去（GE）进行全局最大体积主元分解，其指数复杂度限制其仅限于理论应用。我们表明，局部最大体积主元分解是基于 GE 和 QR 的秩揭示器的关键且实用的主元策略。特别是，我们证明它既是必要的也是充分的；这突显了所有局部解几乎与全局解一样好。这一洞察将提升 Gu 和 Eisenstat 的秩揭示 QR 作为典型秩揭示器， 我们实现的一个版本被观察到比 CPQR 最多仅增加 2 倍的计算复杂度。我们通过将 GE 和 QR 统一考虑，证明任何主元策略的成功都可通过对其进行局部最大体积主元的基准测试来评估。
引用
@article{arxiv.2405.04330,
title = {How to reveal the rank of a matrix?},
author = {Anil Damle and Silke Glas and Alex Townsend and Annan Yu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.04330},
year = {2024}
}