秩剖面矩阵与广义 Bruhat 分解的快速计算

矩阵的行（或列）秩剖面描述了其行（或列）阶梯形阶梯状形状。我们在此提出一种新的矩阵不变量——秩剖面矩阵，它汇总了所有前导子矩阵的行和列秩剖面的全部信息。我们证明这种正规形式在任何环上存在且唯一，前提是使用 McCoy 秩的概念以应对零因子存在的情况。然后我们探讨了高斯消去算法通过相应的 PLUQ 分解来计算该不变量全部或部分信息的条件下。这扩大了已知的计算行或列秩剖面的消去变体集合。因此，一种新的 Crout 基例变体显著提高了有限域上先前已知实现的实际效率。对于秩非常小的矩阵，我们还将 Storjohann 和 Yang 的技术推广到秩剖面矩阵的计算，对于秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵实现了 $(r^\omega+mn)^{1+o(1)}$ 的时间复杂度，其中 $\omega$ 是矩阵乘法的指数。最后，我们给出了与 Bruhat 分解及其若干变体和推广的联系。因此，我们对 PLUQ 分解的算法改进及其实现直接适用于这些分解。特别地，我们展示了揭示秩剖面矩阵的 PLUQ 分解如何通过由行和列置换构成的简单后处理，同时揭示输入矩阵或其任意前导子矩阵的行和列阶梯形。