基于随机稀疏嵌入的高效 QR 列子集选择

本文提出了一种高效的列子集选择算法，该算法将列主元 QR 分解与稀疏子空间嵌入相结合。所提出的方法 SE-QRSC 对于列数远多于行数的宽矩阵尤为有效。从矩阵 $A$ 出发，该算法从草图矩阵 $B = A \Omega^T$ 中选取 $k$ 列，其中 $\Omega$ 是 $\mathrm{range}(A^T)$ 的稀疏子空间嵌入。随后利用 $\Omega$ 的稀疏结构将选定的主元映射回 $A$ 的对应列，进而生成最终的选定列子集。我们证明此过程产生的分解具有强秩揭示性质，从而揭示了 $A$ 的谱。与由 $A$ 的强秩揭示 QR 分解得到的界相比，所得的界对 $A$ 的列数的依赖性降低。此外，当杠杆分数已知时（例如对于正交矩阵），或可以被有效近似时，该界变得完全独立于列维度。对于一般矩阵，可以通过首先施加 $range(A)$ 的额外子空间嵌入来扩展该算法。