如何寻找洛伦兹流形的全纯代数

具有特殊全纯性的流形在弦论、超引力和 M 理论中扮演着重要角色。本文解释了如何寻找任意黎曼流形或洛伦兹流形的全纯代数。利用 de~Rham 和 Wu 分解，该问题被简化为局部不可分解流形的情形。对于局部不可分解的黎曼流形，已知其全纯代数可通过分析流形上的特殊几何结构来确定。如果 $n$ 维局部不可分解洛伦兹流形 $(M,g)$ 的全纯代数 $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{so}(1,n-1)$ 不同于 $\mathfrak{so}(1,n-1)$，则它包含在相似代数 $\mathfrak{sim}(n-2)$ 中。此类全纯代数共有 4 种类型。给出了确定 $\mathfrak{g}$ 类型的判据，并描述了与每种类型对应的特殊几何结构。对于每个 $\mathfrak{g}$，都存在一个典范关联的子代数 $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{so}(n-2)$。本文提供了一种寻找 $\mathfrak{h}$ 的算法。