如何清洁脏地板：概率位势理论与Dobrushin唯一性定理

受统计力学中Dobrushin唯一性定理的启发，我们考虑如下情形：设 $\alpha$ 为有限或可数无限指标集 $X$ 上的非负矩阵，定义"清洁算子" $\beta_h = I_{1-h} + I_h \alpha$，其中 $h: X \to [0,1]$（这里 $I_f$ 表示以 $f$ 为对角元的对角矩阵）。我们问：对于哪些"清洁序列" $h_1, h_2, \ldots$，我们有 $c \beta_{h_1} \cdots \beta_{h_n} \to 0$ 对某一适当的"脏向量"类 $c$ 成立？我们在对 $\alpha$ 的一个适度条件下证明，只要 $\sum_i h_i = \infty$ 在 $X$ 上处处成立，该收敛即发生。更一般地，我们分析了子集 $\Lambda \subseteq X$ 的清洁以及余集上污垢的最终分布。我们证明，当 $\mathrm{supp}(h_i) \subseteq \Lambda$ 且 $\sum_i h_i = \infty$ 在 $\Lambda$ 上处处成立时，算子 $\beta_{h_1} \cdots \beta_{h_n}$ 当 $n \to \infty$ 时收敛于"扫除算子" $\Pi_\Lambda = \sum_{k=0}^\infty (I_\Lambda \alpha)^k I_{\Lambda^c}$。这些结果通过两种方式获得：一是通过相当简洁的矩阵形式体系，二是通过更强大的树形式体系——后者对应于将 $\alpha$ 的矩阵元视为非交换不定元的形式幂级数。