典型系统与谱的有限秩扰动

我们利用 Rokhlin 关于典型系统唯一性的定理，找到一种新方法以建立单位圆盘中的函数论与自伴或酉算子的秩一扰动之间的联系。在 $n$ 维情形，我们证明对任意循环自伴算子 $A$，算子 $A_\lambda= A + \Sigma_{k=1}^n \lambda_k(\cdot,\phi_k)\phi_k$ 对几乎处处的 $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) \in\Bbb R^n$ 为纯点，当且仅当对 $k=1,2,...,n$，算子 $A_\eta=A+\eta(\cdot,\phi_k)\phi_k$ 对几乎处处的 $\eta\in\Bbb R$ 为纯点。我们还证明若 $A_\lambda$ 对几乎处处的 $\lambda\in \Bbb R^n$ 为纯点，则对任意解析曲线 $\gamma\in\Bbb R^n$，$A_\lambda$ 对几乎处处的 $\lambda\in \gamma$ 也为纯点。