pair-copula 构造中的简化假设究竟多简化与多灵活——三维解析答案及更高维一瞥

过去十年中大量出版物凸显了 pair-copula 构造日益流行且看似广泛的应用，受此驱动，本文从解析角度探讨 commonly used `简化假设' 究竟多灵活与多简化这一不可避免的问题，并回答 Nagler 和 Czado 于 2016 年提出的两个相关开放问题。为以最简可能设定推导主要结果，我们首先聚焦三维情形。我们证明简化 copula 族在灵活性意义下于一致度量 $d_\infty$ 下在所有三维 copula 集中是稠密的——然而考虑更强收敛概念如由度量 $D_1$ 诱导者、弱条件收敛、全变差或 Kullback-Leibler 散度时，该族甚至是无处稠密的，因而对任何灵活近似均不充分。此外，回到 $d_\infty$，我们表明偏 vine copula 从来不是给定非简化 copula $C$ 的最优简化 copula 近似，并推导示例说明相应近似误差可能惊人地大且超过度量空间直径的 28%。而且，将每个三维 copula 映射为其唯一偏 vine copula 的映射 $\psi$ 关于 $d_\infty$ 是不连续的（但关于 $D_1$ 和弱条件收敛连续），意味着偏 vine copula 近似的惊人敏感性。上述关于 $d_\infty$ 的主要结果随后推广至一般多元情形。