低基数Lefschetz 纤维面的 braid monodromy有多大？

给定一族 genus $g$ 的光滑Lefschetz纤维面 $\pi : M \to S^2$，其奇异轨迹为 $\Delta \subseteq S^2$，我们描述由引申到 $M$ 的纤维保持diffeomorphism的子群 $\operatorname{Br}(\pi)$，它是包含奇异点集的球形编织群 $\operatorname{Mod}(S^2,\Delta)$ 的子群。我们发展了一般方法，证明指数 $[\operatorname{Mod}(S^2,\Delta) : \operatorname{Br}(\pi)]$ 为无穷大的条件。作为我们方法的应用，我们证明当 $g = 1$ 时，或当 $\pi$ 可表示为自纤维和 (self-fiber sum) 时（$g \geq 2$），或当 $\pi$ 是一种全纯genus $g = 2$ Lefschetz纤维面且其消失环路为非分离时，指数为无穷大。在genus $g = 1$ 的情况下，我们将子群 $\operatorname{Br}(\pi)$ 与 $\operatorname{Mod}(S^2,\Delta)$ 对 $S^2 \setminus \Delta$ 的 $\operatorname{SL}_2$-character variety作用关联起来，并通过最新Lam--Landesman--Litt的工作提供了一个替代证明。