伪 $q$-迹与（共）端之间有何关联？

设 $\mathbb V$ 为一个 $\mathbb N$ grading 的 $C_2$ 细致顶算子代数（VOA），不一定是有理的或自双的。利用 [GZ25a] 中一个特殊情形的缝合分解定理，我们展示，在 $\mathrm{Mod}(\mathbb{V}^{\otimes2})$ 中端 $\mathbb E=\int_{\mathbb M\in\mathrm{Mod}(\mathbb V)}\mathbb M\otimes_{\mathbb C}\mathbb M'$（其中 $\mathbb{M}'$ 是 $\mathbb{M}$ 的共轭模块）在 $\mathrm{Mod}(\mathbb{V}^{\otimes2})$ 中天然地构成一个兼容其 $\mathbb{V}^{\otimes2}$-模块结构的结合 $\mathbb C$-代数。此外，我们证明，一个合适的左 $\mathbb E$-模块范畴 $\mathrm{Coh}_{\mathrm{L}}(\mathbb E)$ 作为线性范畴与 $\mathrm{Mod}(\mathbb V)$ 同构，以及真空环面 conformal blocks 的空间与 $\mathbb E$ 的对称线性函数空间 $\mathrm{SLF}(\mathbb E)$ 同构。结合 [GZ25b] 的主定理，我们证明了 Gainutdinov-Runkel 的猜想：对于 $\mathrm{Mod}(\mathbb V)$ 中的任意射影生成器 $\mathbb G$，伪-$q$-迹构造从 $\mathrm{SLF}(\mathrm{End}_{\mathbb V}(\mathbb{G})^{\mathrm{opp}})$ 同态到 $\mathbb V$ 的真空环面 conformal blocks 的空间。特别地，若 $A$ 为一个单位有限维 $\mathbb C$-代数，使得有限维左 $A$-模范畴等价于 $\mathrm{Mod}(\mathbb V)$，则 $\mathrm{SLF}(A)$ 在线性上等同于 $\mathbb V$ 的真空环面 conformal blocks 的空间。这证实了 Arike-Nagatomo 的猜想。