C₂-共轱顶点算子代数解析 conformal blocks III：缝合分解定理

设 $\mathbb V=\bigoplus_{n\in\mathbb N}\mathbb V(n)$ 为 $C_2$-共轱VOA，不一定是合理的或自双关的。本文建立了各种版本的缝合分解（SF）定理，用于关联 $\mathbb V^{\otimes N}$（其中 $N\in\mathbb N$）的grading受限广义模的 conformal blocks。除了[GZ23]引言中宣布的版本外，我们证明了以下 coend 版本的SF定理：设 $\mathfrak F$ 为带有 $N$ 个入射和 $R$ 个出射标记点的紧致黎曼曲线，设 $\mathfrak G$ 为带有 $K$ 个入射和 $R$ 个出射标记点的紧致黎曼曲线。分别将 $\mathbb W\in\mathrm{Mod}(\mathbb V^{\otimes N})$ 和 $\mathbb X\in\mathrm{Mod}(\mathbb V^{\otimes K})$ 分配给 $\mathfrak F$ 和 $\mathfrak G$ 的入射标记点。对于每个 $\mathbb{M} \in \mathrm{Mod}(\mathbb{V}^{\otimes R})$，将 $\mathbb{M}$ 及其共轭 $\mathbb M'$ 分配给 $\mathfrak F$ 和 $\mathfrak G$ 的出射标记点。令对应的 conformal blocks 空间为 $\mathscr T_{\mathfrak F}^*(\mathbb M\otimes\mathbb{W})$ 和 $\mathscr T_{\mathfrak{G}}^*(\mathbb M'\otimes\mathbb X)$。若将 $\mathfrak X$ 定义为沿其出射标记点缝合 $\mathfrak F$, $\mathfrak G$ 得到的 $(N+K)$ 点标记曲线，则 conformal blocks 的缝合（在[GZ25a]中已证明收敛）可致向量空间同构 $$\int^{\mathbb{M}\in\mathrm{Mod}(\mathbb V^{\otimes R})}\mathscr T_{\mathfrak F}^*(\mathbb M\otimes\mathbb{W})\otimes_{\mathbb C} \mathscr T_{\mathfrak G}^*(\mathbb M'\otimes \mathbb X)\simeq\mathscr T_{\mathfrak X}^*(\mathbb W\otimes \mathbb X)$$ 我们还讨论了conformal blocks与使用Lyubashenko的coend/构造定义的模ular functor之间的关系。