Horn球深度与Hadamard流形上的Busemann中位

我们引入了horn球深度，这是Hadamard流形上的一种内在统计深度概念，并定义Busemann中位为其最大化者的集合。该构建利用了Tukey的半空间深度中出现的线性函数本身是重新归一化距离函数极限的事实；在Hadamard流形上，相同的极限程序产生Busemann函数，其次级集为horn球，作为半空间的内在替代品。所得深度以视觉边界为参数，具有等距不变性，且既不需要切向空间线性化，也不需要指定基点。对于任意Hadamard流形，我们证明深度区域是嵌套的且 geodesically convex的，证明深度至少为1/(d+1)的中心点存在，从而证明每个Borel概率测度都存在Busemann中位。在严格负曲率下并在温和规整性假设下，深度严格准凸，中位唯一。我们还建立了鲁棒性：深度在总变异扰动下是稳定的；在质量逃逸到无穷远处时，限制中位取决于逃逸方向而非污染质量沿射线的移动距离，这与Fréchet均值不同。最后，我们证明了样本深度的均匀一致性以及样本深度区域和样本Busemann中位的收敛；对于非紧致类型的对称空间，论证通过对上升horn半空间的VC分析进行，而对于一般Hadamard流形则基于温和非原子性假设下的紧致性论证。