环面上的同调渗流： plaquette 与置换多面体

我们研究了正方形格子上键渗流与三角形格子上点渗流的高维同调类比。通过对某些无限胞腔复形按增长子格取商，我们得到具有高度对称性且拓扑为环面 $\mathbb{T}^d$ 的有限胞腔复形。当随机子复形在环境环面的同调中诱导出非平凡的 $i$ 维圈时，我们称此类圈为“巨型”的。我们证明了对任意 $i$ 和 $d$，都存在一个从不存在巨型圈到巨型圈跨越环面同调的尖锐相变。我们还证明了在某些情形下阈值函数收敛于一个常数。特别地，我们证明了对于两种模型，在中间维 $i=d/2$ 的情形下 $p_c=1/2$。这给出了 Kesten 定理（正方形格子上键渗流与三角形格子上点渗流的 $p_c=1/2$）的有限体积高维类比。