Grassmann 流形上主 $U(n)$ 丛的和乐

考虑 Grassmann 流形上的主 $U(n)$ 丛 $U(n)\rightarrow U(n+m)/U(m) \stackrel{\pi}\rightarrow G_{n,m}$。给定 $X \in U_{m,n}(\mathbb{C})$ 和一个二维子空间 $\mathfrak{m}' \subset \mathfrak{m} \subset \mathfrak{u}(m+n)$，假设 $\mathfrak{m}'$ 由满足 $X^{*}Y = \mu I_n$（其中 $\mu \in \mathbb{R}$）的 $X,Y \in U_{m,n}(\mathbb{C})$ 诱导，或由 $X,iX \in U_{m,n}(\mathbb{C})$ 诱导。则 $\mathfrak{m}'$ 在底空间中生成一个完备的全测地曲面 $S$。此外，设 $\gamma$ 为 $S$ 上一条分段光滑的简单闭曲线，参数范围为 $0\leq t\leq 1$，$\widetilde{\gamma}$ 为其在丛 $U(n) \rightarrow \pi^{-1}(S) \stackrel{\pi}{\rightarrow} S$ 上的水平提升，该丛浸入于 $U(n) \rightarrow U(n+m)/U(m) \stackrel{\pi}\rightarrow G_{n,m}$ 中。则有 $$\widetilde{\gamma}(1)= \widetilde{\gamma}(0) \cdot ( e^{i \theta} I_n) \text{\quad 或 \quad } \widetilde{\gamma}(1)= \widetilde{\gamma}(0),$$ 取决于浸入丛是否平坦，其中 $A(\gamma)$ 是曲面 $S$ 上由 $\gamma$ 所围区域的面积，且 $\theta= 2 \cdot \tfrac{n+m}{2n} A(\gamma)$。