$(\mathbb{P}^2,E)$ 的全纯反常方程与局部 $\mathbb{P}^2$ 的 Nekrasov-Shatashvili 极限

我们证明了 van Garrel-Graber-Ruddat 的零亏格局部-相对对应的高亏格版本：对于 $(X,D)$ 为 $X$ 是光滑射影簇、 $D$ 是 nef 光滑除子的对， $(X,D)$ 的极大接触 Gromov-Witten 理论与带 $\lambda_g$ 插入的 Gromov-Witten 理论相关联于 $\mathcal{O}_X(-D)$ 的全空间 Gromov-Witten 理论以及 $D$ 的局部 Gromov-Witten 理论。特化到 $(X,D)=(S,E)$，其中 $S$ 为 del Pezzo 曲面或有理椭圆曲面、 $E$ 为光滑反正则除子，我们表明 $(S,E)$ 的极大接触 Gromov-Witten 理论由 Calabi-Yau 3 折 $\mathcal{O}_S(-E)$ 的 Gromov-Witten 理论与椭圆曲线 $E$ 的平稳 Gromov-Witten 理论所决定。进一步特化到 $S=\mathbb{P}^2$，我们证明 $(\mathbb{P}^2,E)$ 的极大接触 Gromov-Witten 不变量的高亏格生成级数是拟模的并满足全纯反常方程。证明结合了先前已知的局部 $\mathbb{P}^2$ 与椭圆曲线的拟模性结果与全纯反常方程。此外，利用 $(\mathbb{P}^2,E)$ 的极大接触 Gromov-Witten 不变量与 $\mathbb{P}^2$ 上半稳定一维层模空间 Betti 数之间的关联，我们获得了物理学文献中关于局部 $\mathbb{P}^2$ 在 Nekrasov-Shatashvili 极限下精炼拓扑弦自由能的拟模性与全纯反常方程的证明。