全息与測度常数及測度守恒亚游 manifolds

设$(M^{n+1},g_+)$为測度守恒亚光滑流形。我们计算了共轭紧致測度守恒亚游 manifolds $\iota : Y^{k+1} \to (M^{n+1},g_+)$的測度常数，其余维数可为任意。作为应用，我们给出两类$(n+1)$维測度守恒亚光滑流形的实例，其測度常数等于$n$，其共轭边界类型为：1）正的Yamabe不变性，2）负的Yamabe不变性。另外，类似于Blitz--Gover--Waldron \cite{BlitzSamuel2021CFFa}的论述，我们证明了測度守恒亚光滑流形在边界为等球面时，当且仅当其第三共轭基本形消失时，方为共轭弱Poincaré--Einstein。接下来，在測度最小亚游 manifolds $Y$的空间中，我们识别出一个外在共轭不变量 $\partial Y$，其可阻止$Y$均值曲率在二阶消失。该共轭不变量是两个黄尔曼亚游 manifolds $\partial Y$的线性组合，其中一个取决于其在$\overline{Y}$中的外在几何，另一个取决于其在$\partial M$中的外在几何；单个都不是共轭不变量。最后，我们证明了对于在Poincaré--Einstein空间中的測度最小亚游 manifolds，若其均值曲率在二阶消失，则其边界在作为$\partial M$中的亚游 manifolds时，若其第二和第三共轭基本形消失，则其为共轭弱Poincaré--Einstein。