Poincaré-Einstein 流形相对体积的下界

在本文中，我们证明对于具有非负 Yamabe 型共形无穷远 (M,[\hat{g}]) 的 Poincaré-Einstein 流形 (X^{n+1},g_+)，边界的分数阶 Yamabe 常数给出了相对体积的下界。更明确地，对于任意 γ∈(0,1)，$$\left(\frac{Y_{2\gamma} (M,[\hat{g}])}{Y_{2\gamma} (\mathbb{S}^n , [g_{\mathbb{S}}])}\right)^{\frac{n}{2\gamma}} \leq \frac{V(\Gamma_t(p),g_+)}{V(\Gamma_t(0),g_{\mathbb{H}})} \leq \frac{V( B_t(p),g_+)}{V( B_t(0), g_{\mathbb{H}})} \leq 1,\quad 0<t<\infty,$$ 其中 B_t(p)、Γ_t(p) 是 (X,g_+) 中中心在 p∈X^{n+1} 处半径为 t 的测地球和测地球面；而 B_t(0)、Γ_t(0) 是 H^{n+1} 中中心在 0∈H^{n+1} 处半径为 t 的测地球和测地球面。