高维分数阶 Yamabe 问题的非紧性结果

设 $(X^{n+1}, g^+)$ 是一个 $(n+1)$ 维渐近双曲流形，其共形无穷远为 $(M^n, [\hat{h}])$。分数阶 Yamabe 问题旨在求解方程 $$P^{\gamma}[g^+,\hat{h}] (u) = cu^{n+2\gamma \over n-2\gamma}, \quad u > 0 \quad \text{on } M$$ 其中 $c \in \mathbb{R}$，$P^{\gamma}[g^+,\hat{h}]$ 是分数阶共形 Laplacian，其主符号为 $(-\Delta)^{\gamma}$。在本文中，我们在半空间 $X = \mathbb{R}^{n+1}_+$（其共形等价于单位球）上构造了一个度量，使得当 $\gamma \in (0, \gamma^*)$ 且 $n \ge 24$，或 $\gamma \in [\gamma^*,1)$ 且 $n \ge 25$ 时，分数阶 Yamabe 方程的解集是非紧的；其中 $\gamma^* \in (0, 1)$ 是一个特定的过渡指数。结果表明 $\gamma^*$ 的值约为 0.940197。