HKT流形: Hodge理论、形式化与平衡度量

设$(M,I,J,K,\Omega)$为紧HKT流形,以$\partial$表示关于$I$的共轭Dolbeault算子,$\partial_J:=J^{-1}\overline\partial J$,$\partial^\Lambda:=[\partial,\Lambda]$,其中$\Lambda$是$L:=\Omega\wedge-$的伴随。在适当假设下,我们研究复形$(A^{\bullet,0},\partial,\partial_J)$与$(A^{\bullet,0},\partial,\partial^\Lambda)$的Hodge理论,展现出与Kähler流形类似的性质。特别地,我们证明了Laplacian、调和形式空间与相应上同调群之间的若干关系,以及Hard Lefschetz性质。此外,我们证明对紧HKT $\mathrm{SL}(n,\mathbb{H})$-流形,微分分次代数$(A^{\bullet,0},\partial)$是形式的,这将导出紧复流形$(M,I)$上存在HKT $\mathrm{SL}(n,\mathbb{H})$-结构$(I,J,K,\Omega)$的一个障碍。最后,我们研究了solvm流形上的平衡HKT结构。